Experimento mental, bombona y protón

Acompáñame a hacer este experimento mental.

Tenemos una bombona típica de butano de unos 30 L de capacidad vacía, con un único átomo de hidrógeno en su interior. Solamente un protón.

Nos piden que enfriemos el contenido de la bombona hasta acercarnos lo máximo posible a 0 K.

No será tan difícil, ¿no? Introduzco la bombona en una nevera que vaya extrayendo energía térmica poco a poco hasta llegar a la mínima temperatura posible.

Lo hago, espero un tiempo prudente y, al sacarla, compruebo que no obtengo el resultado esperado.

Entonces pienso: ¿qué es realmente la temperatura? A principios de nuestros años de estudiantes ya nos contaron que la temperatura es una manera de medir la velocidad media de las partículas que conforman un gas. Pero en este caso, nuestro “gas” está compuesto únicamente por una partícula; se trata de aminorar su marcha como quien intenta detener un tren que llega a su destino.

Llegamos a la conclusión de que hablar de temperatura interior de la bombona no tiene demasiado sentido mientras no sea homogénea o, por lo menos, mientras no se trate de un gas propiamente dicho.

¿Qué temperatura puede haber en el espacio vacío donde no está nuestro protón? No tiene sentido.

Pensando en todo esto, se me ocurre una idea: puedo ir reduciendo el tamaño del habitáculo hasta atrapar el protón en un lugar estático y así extraer toda su energía térmica. Después puedo liberarlo y, por conservación de energía, el protón no se moverá. Lo habré enfriado hasta 0 K. Me dispongo a construir un recipiente con un émbolo móvil que me permita reducir el volumen.

Una vez construido, comienzo a empujar el émbolo hacia abajo para recluir a nuestro protón. Cuando voy por la mitad del recorrido, empujar se vuelve cada vez más difícil. Llega un momento en que no puedo seguir bajando; parece que dentro hay agua en lugar de un solo protón. Qué extraño.

Me dispongo a medir el estado de mi protón y me encuentro con una sorpresa: ¡ha aumentado su rango de velocidades! Además, la velocidad máxima ha aumentado considerablemente.

Reúno los datos y observo algo interesantísimo: la velocidad máxima del protón se ha duplicado al reducirse a la mitad el volumen del recipiente. Si multiplico el volumen por la velocidad máxima en el primer estado y luego en el segundo, ambos productos arrojan el mismo resultado. Parece que existe una constante que se mantiene. Muy curioso.

Pero más allá de esto, me llama la atención otra cosa: si la temperatura de una partícula está relacionada con su velocidad, y su velocidad depende de su libertad de movimiento, entonces la libertad de movimiento está relacionada con la temperatura. ¿De qué manera estarán relacionadas exactamente?

De manera totalmente obligatoria, decido repetir el experimento: reduzco de nuevo a la mitad el volumen del recipiente para ver si la velocidad se duplica otra vez. Llamo a un amigo para ayudarme a bajar el émbolo. Medimos la velocidad del protón y ¡bingo! La velocidad se ha duplicado nuevamente y el producto entre el volumen y la velocidad sigue siendo el mismo que antes.

Dos repeticiones del experimento me convencen bastante, pero aún así necesito una tercera. El único inconveniente es que para reducir otra vez a la mitad el volumen necesitamos más fuerza, y sin otro compañero extra es prácticamente imposible. Esto me hace pensar: si cada vez que reduzco el volumen a la mitad necesito más ayuda porque la velocidad del protón aumenta y golpea las paredes con más frecuencia e intensidad, ¿qué fuerza necesitaré para reducir el volumen a cero y atrapar al protón? Algo me dice que necesitaré una fuerza infinita, o al menos demasiado grande como para considerarlo viable.

Mi conclusión temprana es que no se puede recluir una partícula en un espacio totalmente definido porque el rango de velocidades se dispara. Además, si multiplico el volumen disponible por su velocidad máxima, obtengo una constante para futuros estados de variación de parámetros.

Todo esto es independiente de la energía térmica de la partícula. A esta energía la llamaré energía de punto cero.

Observando la forma en que el protón se mueve, me doy cuenta de que su libertad de movimiento está limitada por el tamaño del recipiente. Si llamo L a la longitud característica de la caja (por ejemplo, el diámetro de la bombona), entonces la velocidad mínima que puede tener el protón debe depender de L: cuanto más pequeña la caja, más rápido se mueve.

Sabemos que la energía cinética de una partícula se relaciona con su velocidad mediante la fórmula clásica E = (1/2) m v². Pero esta no es energía térmica, sino la energía mínima que la partícula puede tener incluso cuando la temperatura es cero. La que hemos llamado energía de punto cero.

Si llamo L a la longitud característica del recipiente, la experiencia me está diciendo algo muy concreto:

Cuando reduzco L a la mitad, la velocidad máxima se duplica. Eso significa que la velocidad es inversamente proporcional a L.

Es decir, v es proporcional a 1 / L

Si quiero escribirlo como igualdad, necesito introducir una constante. La llamaremos C.

v = C / L

No sé todavía cuánto vale C. Pero sé algo importantísimo: no puede depender del protón, ni del recipiente, ni del experimento concreto. Porque el fenómeno se repite siempre.

Debe ser una constante universal. Estoy hasta nervioso, lo tengo delante de mí. ¿Cómo es posible que nadie haya visto esto?

Ahora recuerdo algo que ya hemos aceptado: la energía cinética de una partícula es (1/2) m v²

Sustituyo la expresión que acabo de obtener para la velocidad: v = C / L entonces E = (1/2) m (C / L)²

Ahora desarrollo el cuadrado:

E = (1/2) m · C² / L²

Reordenando:

E = (m C²) / (2 L²)

Y aquí aparece algo precioso.

La energía mínima posible no depende linealmente del tamaño. Depende de 1 / L².

Si reduzco el tamaño a la mitad, la energía no se duplica. Se multiplica por cuatro. Eso explica por qué cada vez necesitaba más ayuda para empujar el émbolo.

La resistencia crece muy deprisa. Ahora necesito resolver una cuestión. ¿Qué es C? Porque C tiene dimensiones de velocidad por longitud. Eso equivale a longitud² / tiempo o, si lo multiplicamos por la masa:

masa · longitud² / tiempo

Y eso son unidades de acción.

Es decir, existe en la naturaleza una cantidad fundamental con esas dimensiones.

Una cantidad que marca el límite entre poder definir simultáneamente posición y movimiento. Esa cantidad es universal la medimos experimentalmente y su valor es h / (2π)

A esa cantidad la llamamos h barra.

Por tanto C = h barra / m

Si lo sustituyo en la energía:

E = (m / 2 L²) · (h barra² / m²)

Simplifico una m:

E = h barra² / (2 m L²)

Y ahí está. He descubierto que existe una energía mínima que puede tener el protón aunque la temperatura sea cero. Y la he llamado la energía de punto cero. Y ustedes me han acompañado en este experimento así que son colaboradores y los citaré. Déjenme sus comentarios.